Магадлалын онолын үндсэн ойлголт. магадлалын онол хуулиуд

Олон хүмүүс "магадлалын онол" -ын ойлголтын тулгарсан үед энэ нь маш хэцүү тэвчишгүй зүйл юм гэж бодоод айж. Гэвч энэ тийм эмгэнэлтэй бус, үнэндээ юм. Өнөөдөр бид тодорхой жишээн дээр гэхэд асуудлыг шийдэхийн тулд сурч, магадлалын онолын үндсэн ойлголтууд харж байна.

шинжлэх ухаан

Юу нь "магадлалын онол" гэж математикийн салбар сурч байна вэ? Энэ хэв маягийг тэмдэглэл санамсаргүй үйл явдлын болон хувьсагчийн. судалж мөрийтэй тоглоом тоглох анх удаа арван наймдугаар зууны үед санаа зовж эрдэмтэд асуудал хувьд. магадлалын онолын үндсэн ойлголт - үйл явдал. Энэ нь туршлага болон ажиглалт заасан аливаа явдал юм. Гэхдээ туршлага гэж юу вэ? магадлалын онолын өөр нэг үндсэн үзэл баримтлал нь. Энэ нөхцөл байдал нь энэ хэсэг нь санамсаргүй бүтээсэн биш юм гэсэн үг, мөн зорилготой. хяналтын хувьд, судлаач өөрөө туршлага ажиллагаанд оролцохгүй байх вэ байдаг, харин зүгээр л эдгээр үйл явдлын гэрч, энэ юу болж байгаа талаар ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй.

үйл явдал

үйл явдал, гэхдээ ангиллыг авч үзэх биш үү - Бид магадлалын онолын үндсэн ойлголт гэдгийг мэдэж авсан. Эдгээр нь бүгд нь дараах ангилалд хувааж болно:

• Найдвартай.
• Боломжгүй.
• Санамсаргүй.

Ямар ч хамаагүй үйл явдал харж байгаа нь, эсвэл туршилтын явцад бий болсон, юу, тэд энэ ангилалд өртсөн байна. Бид уулзаж бүх төрлийг тусад нь санал болгож байна.

тодорхой үйл явдал

Энэ үйл ажиллагаа нь шаардлагатай багц болгох нь үнэн юм. мөн чанарыг илүү сайн ойлгох тулд, энэ нь цөөн хэдэн жишээ өгөх нь илүү дээр юм. Энэ нь хууль, физик, хими, эдийн засаг, дээд математик захирагдаж байдаг. магадлалын онол нь чухал ач холбогдолтой үйл явдал зэрэг нь чухал үзэл баримтлалыг орно. Энд зарим нэг жишээг дурьдвал:

• Бид ажиллаж, цалин хэлбэрээр цалин авдаг байна.
• За, шалгалт өнгөрч энэ нь боловсролын байгууллагад элсэх хэлбэрээр цалин хөлс авах нь өрсөлдөөнийг баталсан.
• Бид банкинд мөнгөө хөрөнгө оруулалт шаардлагатай бол тэдгээрийг буцаан авч байна.

Ийм үйл явдал нь үнэн юм. Бид шаардлагатай бүх нөхцөлийг биелүүлсэн бол, хүлээгдэж буй үр дүнг олж авах хэрэгтэй.

боломжгүй үйл явдал

Одоо бид магадлалын онолын элементүүдийг авч үзье. тухайлбал боломжгүй - Бид үйл явдлын дараах төрлийн тодотгол руу явах санал болгож байна. эхлүүлэхийн тулд хамгийн чухал дүрэм зааж - нь боломжгүй үйл явдлын магадлал тэг байна.

Энэ боловсруулах эхлэн асуудлыг шийдвэрлэхэд derogated болохгүй. Ийм үйл явдлын жишээ харуулахын тулд:

• Ус нь температурын нэмэх арван (энэ нь боломжгүй зүйл) дээр хөлдсөн байна.
• цахилгаан эрчим хүчний үйлдвэрлэлийг нөлөөлөхгүй байх вэ дутмаг (өмнөх жишээн дээрх шиг боломжгүй).

өгсөн байна Илүү жишээ маш тодорхой нь дээр тайлбарласны дагуу энэ ангилалд мөн чанарыг тусгаж, шаардлагатай биш юм. Impossible үйл явдал хэзээ ч ямар ч нөхцөлд туршилтын хугацаанд тохиолддог байна.

санамсаргүй үйл явдал

магадлалын онолын элементүүдийг судлах гэхэд онцгой анхаарах үйл явдлын тухайн төрлийн төлсөн байх ёстой. Эдгээр нь энэ шинжлэх ухааныг судлах хүмүүс байдаг. ямар нэг зүйл тохиолдож, эсвэл чадахгүй байгаа туршлагаас үр дүнд. Үүнээс гадна, туршилтын удаа хязгааргүй тооны хийж болно. Дурдаж болох жишээнүүд нь:

• зоос шидэх - Энэ үйл явдал - энэ нь туршлага, эсвэл туршилтын, бүргэдийн алдагдал юм.
• сохроор баг нь бөмбөг хөдлөхөд - Энэ үйл явдал гэх мэт - Туршилт, улаан бөмбөгийг барьж байна.

Ийм жишээ нь хязгааргүй тоо байж болно, гэхдээ ерөнхийдөө ойлгосон байх ёстой. нэгтгэх болон хүснэгтийн үйл явдлын талаар олж авсан мэдлэгийг системтэй байна. магадлалын онол судалгаа нь бүх танилцуулсан зөвхөн сүүлийн анги.

нэр	тодорхойлолт	жишээ нь
найдвартай	Үйл явдал нь туйлын баталгаа, зарим нөхцөлтэйгөөр нь тохиолддог.	сайн цаг элсэлтийн шалгалтанд сургуулийн элсэлтийн.
боломжгүй	ямар ч нөхцөлд үгүй болох үйл явдал.	Энэ нь гучин градусаас дээш агаарын температурт цастай байна.
санамсаргүй	үйл явдал аль болох эсвэл туршилт / туршилтын явцад байж болох юм.	цагираг нь сагсан бөмбөг шидэж үед өнгөрөөх Hit буюу.

хууль тогтоомж

Магадлалын онол - шинжлэх ухааны ямар ч тохиолдолд алдсан боломжийг судалж байна. Бусдын адил тэр зарим нэг дүрэм байдаг. магадлалын онол дараах хуулиуд:

• Санамсаргүй хувьсагчийн дарааллыг нийлэлт.
• олон тооны хууль.

нэгэн цогц боломжийг тооцож үед үр дүн нь илүү хялбар, хурдан арга нь хүрэхийн тулд нарийн төвөгтэй энгийн үйл явдлыг ашиглаж болно. Энэ нь магадлалын онолын хууль амархан теоромуудын зарим тусламжтайгаар батлагдсан болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Бид эхлээд хууль танилцах эхлэх санал болгож байна.

Санамсаргүй хувьсагчийн дарааллыг нийлэлт

Хэд хэдэн төрлийн нэгдэн нийлэлтийн гэдгийг анхаарна уу:

• Санамсаргүй хувьсагчийн дараалал магадлал нь нийлэлт.
• Бараг боломжгүй.
• RMS нэгдэн нийлэлт.
• хуваарилалтын нийлэлт.

Тиймээс, ялаа, энэ нь маш хэцүү мөн чанарыг ойлгох явдал юм. Энд сэдвийг ойлгоход туслах болно тодорхойлолтууд байна. Эхний харцаар эхлэх хэрэгтэй. дэс дараалал, магадлал нь нийлэлт гэж нэрлэдэг нь дараах нөхцөл бол байгаа: N хязгаарт хүрэх, дарааллаар хайж тоо тэгээс их, нэгж ойрхон байна.

нь бараг мэдээж дараагийн үзэл рүү очих. Тэд дараалал н хязгааргүй хандлагатай ба R, эв нэгдэлтэй ойролцоо утга хандлагатай нь санамсаргүй хувьсагч нь бараг гарцаагүй converges гэж хэлж байна.

Дараагийн төрөл - RMS нь нэгдэн нийлэлт. вектор санамсаргүй үйл явцын SC сурах ойртох ашиглах үед санамсаргүй зохицуулах үйл явцыг судлах нь бууруулдаг.

Өнгөрсөн төрөл ийн товч харж, асуудлыг шийдвэрлэхэд шууд очиж үзье байв. хуваарилалтын нийлэлт өөр нэртэй байдаг - "сул дорой", дараа нь яагаад тайлбарлаж байна. Сул нийлэлт - хязгаар түгээх үйл ажиллагаа тасралтгүй бүх цэгт тархалтын функцийн нэгдэн нийлэлт юм.

амлалтаа биелүүлэх хэрэгтэй: сул дорой нийлэлт нь дээрх бүх ялгаатай санамсаргүй хувьсагч магадлал орон зай дээр тодорхойлж байна гэж. нөхцөл байдал зөвхөн түгээх функцуудыг ашиглан үүсдэг учраас энэ боломжтой юм.

олон тооны хууль

хуулийн баталгаа Их туслагч зэрэг магадлалын онолын теоремууд байх болно:

• Chebyshev тэгш бус байдал.
• Chebyshev теорем.
• Ерөнхийлж Chebyshev теорем.
• Марков теорем.

Бид эдгээр бүх теоремууд үзэх бол асуудал хуудас хэдэн арван авч болно. практикт магадлалын онолын хэрэглээ юм - Бид гол зорилго нь байдаг. Бид танд яг одоо санал болгож, үүнийг хийх болно. Гэхдээ бид магадлалын онолын Аксиом авч өмнө нь асуудлыг шийдвэрлэх гол түншүүд юм.

Аксиом

Эхний эхлэн, бид аль хэдийн боломжгүй үйл явдлын тухай ярьж байхад харсан билээ. -ын санацгаая: биелэшгүй үйл явдлын магадлал тэг байна. Жишээ нь бид маш хурц тод, мартагдашгүй өгсөн цас нь агаарын температур гучин градус Цельсийн дээр уналаа.

Хоёр дахь нь дараах байдалтай байна: Тодорхой үйл магадлал эв нэгдэл нь тохиолддог. P (B) = 1: Одоо бид энэ нь математикийн хэлний тусламжтайгаар бичигдсэн хэрхэн харуулах болно.

Гуравдугаарт: А санамсаргүй үйл явдал болж магадгүй, үгүй ч, боломж нь үргэлж тэгээс нэг өөр өөр байдаг. ойр Энэ нь эв нэгдэл, илүү боломж юм; утга тэгтэй ойрхон бол магадлал маш бага юм. Бид математикийн хэлээр бичиж: 0

Өнгөрсөн дөрөвдүгээр axiom үзье гэж байна: хоёр үйл явдлын магадлал нийлбэр нь магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна. Математикийн нэр томъёог бичих: P (A + B) = P (A) + P (B).

магадлалын онолын Аксиом - энэ нь санах хэцүү биш байх болно энгийн дүрэм юм. -ийн аль хэдийн олж авсан мэдлэг дээр тулгуурлан зарим асуудлыг шийдвэрлэх оролдоод үзье.

сугалааны тасалбар

нь сугалаанд - Нэгдүгээрт, хамгийн энгийн жишээг авч үзье. Та сайн аз нь сугалааны тасалбар худалдаж авсан гэж төсөөлөөд үз дээ. Та дор хаяж хорин рубль ялах болно магадлалтай гэж юу вэ? Тав - Нийт эргэлтийн мянган тийз, нэг нь таван зуун рубль, арван зуун рубль, хорин тавин рубль, зуун нь шагналыг байна оролцож байна. магадлалын онолын даалгавар аз арга замыг хэрхэн олох дээр суурилсан. Одоо бид хамтдаа дээрх асуудлууд үүднээс шийдвэр дүн шинжилгээ хийх.

Бид таван зуун рублийн шагналын хамт илэрхийлэхэд бол А магадлал 0,001 тэнцүү байна. Бид хэрхэн олж авах вэ? Зүгээр л (: 1/1000 энэ тохиолдолд) нийт тоонд хувааж "азтай" тасалбар тоог хэрэгтэй.

Нь - нэг зуун рублийн олз, магадлал 0.01 тэнцүү байх болно. Одоо бид хамгийн сүүлийн арга хэмжээ нэгэн адил үйлдэж байна (10/1000)

C - өгөөж нь хорин рубль юм. магадлалыг ол, энэ нь 0.05 тэнцүү байна.

Тэдний шагналын мөнгө бид сонирхохгүй байна тасалбар үлдсэн нөхцөлд зааснаас бага байна. дөрөв дэх axiom түрхэнэ: наад зах нь хорин рубль ялалт магадлал P (A) + P (B) нь + P (C). үсэг P үйл явдлын гарал үүслийн магадлалыг илэрхийлнэ өмнөх үе шаттайгаар бид аль хэдийн тэдэнд олсон байна. Энэ нь зөвхөн доош шаардлагатай мэдээллийг бид 0.061 авч хариу тавих хэвээр байна. Энэ тоо нь ажлын байр асуултын хариулт нь байх болно.

Карт нь тавцан

магадлалын онол дээр асуудлууд, тэнд бас илүү төвөгтэй, жишээ нь, дараагийн ажилд авч байна. гучин зургаан карт та тавцан өмнө. Таны даалгавар - овоо холих ямар ч дараалан хоёр картыг зурж, эхний болон хоёр дахь карт хамгийн сайн түнш байх ёстой, тохирсон нь хамаагүй юм.

Эхлээд анх карт нь хөзрийн тамга юм магадлал, дөрвөн гучин зургаан хувааж олно. хажуу тийш нь тавив. Бид хоёр дахь карт гурван зуун гучин тав дахь магадлал бүхий хөзрийн тамга юм авах болно. Хоёр дахь үйл явдлын магадлал, ямар карт дээр бид эхлээд нэгийг нь татаж шалтгаална бид сонирхож байгаа энэ нь хөзрийн тамга байсан эсвэл үгүй. Эндээс энэ тохиолдолд үйл явдал А хамаардаг гэдгийг дараах

Бид нэгэн зэрэг хэрэгжүүлэх магадлал олж дараагийн алхам нь, өөрөөр хэлбэл А, В нэмэгдэх дараах байдлаар Тэдний ажил нь: нэг үйл явдлын нэг нь нөхцөлт магадлал үржүүлж магадлал бид тооцож, эхний үйл явдал гарсан байна гэж үзвэл өөрөөр хэлбэл эхний карт бид хөзрийн тамга татаж.

Бүх тодорхой болохын тулд, зориулалт зэрэг элемент болгон өгөх нь нөхцөлт магадлал үйл явдал. Энэ нь үйл явдлын нэг болсон гэж үзвэл тооцно. дараах байдлаар тооцно: P (B / A).

P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) буюу P (A _* B) = P (B) _* P (A / B): Бид асуудлын шийдлийг сунгаж болно. .. 0.11 _* (0.09 / 0.11) = 0.11 _* 0: магадлал _{(4/36) * ((3/35)} / (4/36) хамгийн ойрын зуу нь дугуйрсан тооцно бид байх юм 82 = 0.09. бид дараалан хоёр Тамгыг сугалах магадлал, есөн зууны тэнцүү байна. цэнэ нь маш бага байдаг тэр үйл явдал тохиолдох магадлал маш бага байна гэсэн үг юм.

мартагдсан өрөө

Бид магадлалын онолыг судалдаг ажлын байрны зарим нь илүү олон тохируулгуудтай гарч болгох санал болгож байна. Хэрэв та энэ зүйлд харсан хүмүүсийн зарим шийдлийг жишээ дараах асуудлыг шийдэхийн тулд үзээрэй: хөвгүүн өөрийн найз сүүлийн орон нэмэх утасны дугаарыг мартаад, гэхдээ дуудлага нь маш чухал ач холбогдолтой байсан тул, дараа нь эргээд тус бүр авахаар болжээ. Бид түүнийг гурван удаа илүү нь байхгүй ч гэж нэрлэж болно гэж магадлалыг тооцох хэрэгтэй. асуудлын хялбар шийдэл, та магадлалын онолын дүрэм, журам, хууль тогтоомж, Аксиом мэддэг бол.

Хэрэв та шийдлийг харж өмнө өөрсдөө шийдэх гэж оролддог. Бид сүүлийн зураг нь арван утгын нийт тэгээс ес байж болно гэдгийг би мэднэ. Шаардлагатай Магадлалын оноо 1/10 юм.

Дараа нь бид үйл явдлын гарал үүслийн хувьд хувилбаруудыг авч АНУ-ын хүү зөв таасан, зөвийг ялсан гэж бодоцгооё хэрэгтэй, ийм үйл явдлын магадлал 1/10 тэнцүү байна. хоёр дахь сонголт нь: Эхний дуудлага хуудас, хоёр дахь зорилтот. Эцэст нь бид 1/10 талаар авах нь 1/9 аас 9/10 үржүүлж: Бид ийм үйл явдлын магадлалыг тооцох. Гурав дахь сонголт нь: эхний болон хоёр дахь дуудлага буруу хаяг уруу эргэж, зөвхөн гурав дахь хүү нь түүнийг хүссэн газарт байсан юм. Ийм үйл явдлын магадлал тооцоолно: 9/10 8/9 ба 1/8 үржүүлж, бид 1/10 үр дүнд олж авах хэрэгтэй. бид сонирхохгүй байна асуудлын нөхцөл Бусал тохируулгууд, энэ нь АНУ-ын эдгээр үр дүнг доош тавих нь хэвээр эцэст нь бид 3/10 байна. Хариулт нь: хүү 0,3 ямар ч гурван дээш удаа, тэнцүү гэж нэрлэдэг байв магадлал.

тоо нь карт

Хэрэв та өмнө нь есөн карт, тус бүр нь нэг нь ес нь хэд хэдэн бичигдсэн байдаг тоо давтан биш юм. Тэд хайрцагт хийж, сайтар холино. Та магадлалыг тооцох хэрэгтэй

• тэгш тоо цувисан;
• хоёр оронтой.

Тэр м заасан шийдвэрийн цааш үргэлжлүүлэхээс өмнө - Амжилттай тохиолдлын тоо юм, N - тохируулгууд нийт тоо юм. АНУ-ын тоо нь ч юм магадлалыг олж үзье. Дөрвөн тэр ч байтугай тоо тооцоход хэцүү биш бөгөөд энэ нь бидний м, есөн боломжтой тохируулгууд, өөрөөр хэлбэл, м = 9 юм. Дараа нь магадлал 0.44 буюу 4/9 тэнцүү байна.

Бид хоёр дахь хэрэг, есөн хувилбарууд тоог авч үзэх, мөн амжилттай үр дүн нь огт байж болохгүй юм гэж, м тэг байна. сунасан карт тэг гэж, хоёр оронтой тоог агуулах болно магадлалтай.