Бүүлийн алгебр. логик алгебр. математик логик элементүүд

Өнөөгийн дэлхийд бид улам машин, багаж төхөөрөмжүүд нь төрөл бүрийн ашиглаж байна. Харин нь зөвхөн энэ утгаараа супер хүчтэй хэрэглэх шаардлагатай бол: үүнийг өндөрт, гэх мэт өсөлт урт, гүн суваг ухаж ачааллыг шилжих Машин өнөөдөр робот цуглуулж, хоол хүнс Multivarki, бага арифметик тооцоо тооны машин үйлдвэрлэх болгосон байна ... Илүү, илүү ихэвчлэн бид хэллэг "Бүүлийн алгебр" сонсдог. Магадгүй цаг математик, бас нь зөвхөн шийдвэрлэх чадвартай робот, машин бий болгох нь хүн төрөлхтний үүргийг ойлгож ирсэн логик асуудал.

логик

Грекийн логик нь - тухайн нөхцөл байдал хоорондын уялдаа холбоог бий болгож, та нар таамаглал болон тооцоон дээр үндэслэн дүгнэлт хийх боломж олгодог бодол нь захиалсан систем. хариу нь бидний таамаглалыг баталж, эсвэл сэтгэлгээний галт тэрэг шүүмжлэн "гэсэн нь логик нь:" Ихэнхдээ бид бие биенээ асуу. Харин үйл явц байдаг зогсоох биш: бид ярьж байна.

Заримдаа нөхцөл (оролтын) тоо маш их бөгөөд тэдний хоорондын харилцаа нь хүний тархи нэг дор бүх "шингээж" боломжтой биш гэдгийг маш ойлгомжгүй, нарийн төвөгтэй байдаг. Та юу болж байгааг ойлгоход (долоо хоног, жил) нэгээс илүү сар хэрэгтэй болно. Гэвч орчин үеийн амьдрал бидэнд шийдвэр гаргах нь эдгээр хугацааны завсрыг өгч байна. Бид компьютер туслахаар амралтын газар. Мөн энэ нь тэнд өөрийн хууль тогтоомж, шинж чанарыг нь алгебр, логик гэж энд байна. Анхны бүх өгөгдөл татаж авсаны дараа, бид компьютерийн эсрэг тэсрэг арилгах, хангалттай шийдлийг олохын тулд, бүх харилцааг таних боломжийг олгодог.

Математик, логик

Алдартай Gotfrid Vilgelm Leybnits "математик логик" -ийн үзэл баримтлалыг үүрэг эрдэмтдийн зөвхөн жижиг тойрог ойлгоход хялбар байсан боловсруулсан. Ялангуяа ашиг сонирхлын шалтгаан биш үү чиглэл бөгөөд хэдхэн мэдэж математик логик XIX зууны дунд байна.

шинжлэх ухааны олон нийтийн дунд маш их сонирхол нь англи Dzhordzh Bul ямар ч практик хэрэглээг байх биш, математикийн салбар байгуулах санаатай зарласан нь маргаан үүссэн байна. Бид аж үйлдвэрийн үйлдвэрлэл идэвхтэй хөгжиж байгаа энэ цаг үед, түүхээс мэдэж байгаа, бид туслах машинуудын бүх төрлийн боловсруулж, т. E. мэдээлэл, шинжлэх ухааны нээлтүүд практик чиглэлийг байсан.

Ирээдүйд бид хэлэх гэсэн Бүүлийн алгебр - дэлхийн математикийн өнөөдөр нэг хэсэг нь хамгийн их ашиглагддаг. Тэгэхээр таны аргумент Buhl алдсан байна.

Dzhordzh Bul

зохиогчийн хувийн онцгой анхаарал хүртэх эрхтэй. Тэр ч байтугай өнгөрсөн хүмүүс бидний өмнө өсч байгаа ч энэ нь Жон. Buhl 16 жилийн хугацаанд тосгоны сургуульд заадаг, 20 жил Линкольн-д өөрийн сургуулиа нээсэн гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй гэдгийг өгсөн. Математикч төгс гадаадын таван хэлийг эзэмшиж, өөрийн чөлөөт цагаараа, Ньютон, Lagrange ажлыг уншиж байв. Мөн энэ бүх - жирийн ажилчны хүү дээр!

1839 онд Buhl Кэмбриджийн Математикийн сэтгүүлд өөрийн анхны шинжлэх ухааны баримт бичиг илгээсэн байна. Эрдэмтэн 24 жилийн эргэв. Boole ажил Хааны нийгэмлэгийн тул сонирхсон гишүүн, 1844 онд хөгжүүлэх үйлсэд оруулсан хувь нэмрийг нь медаль хүртсэн юм Математикийн дүн шинжилгээ хийх. математик логик элементүүд, математик залуу зөвшөөрсөн нь Cork мужийн коллежид профессор бичлэгийг авч хэдэн хэвлэгдсэн баримт бичиг тайлбарласан байна. маш Boole боловсрол дээр гэж санаж байсан юм.

санаа

Зарчмын хувьд, Бүүлийн алгебр нь маш энгийн юм. Байдаг тайлан (логик илэрхийлэл) математикийн үүднээс авч, хоёрхон үгээр тодорхойлж болно: "үнэн", эсвэл "худал". Жишээ нь, хаврын цэцэглэсэн мод - үнэн, зун нь цасанд - нь худлаа. Математикийн гоо сайхан энэ нь зөвхөн тоо ашиглах нь заавал шаардлагатай биш юм байгаа юм. алгебр шүүхийн шийдвэр нь маш өвөрмөц утгаар ямар ч тайлан багтдаг.

үйл явдал, үйл ажиллагааны дарааллыг тодорхойлох талаар зөрчилтэй мэдээллийн төлөвлөх болон үр дүнгийн бичих заавар онд шинжилгээ: Тиймээс логик алгебр утгаараа хаа сайгүй ашиглаж болно. хамгийн чухал зүйл - энэ нь бид тайлангийн үнэн, эсвэл falsity хэрхэн тодорхойлох нь чухал биш гэдгийг ойлгох болно. Эдгээр "хэрхэн", "яагаад" Та хэрэгсэхгүй хэрэгтэй байна. Хамгийн гол нь үнэн хэрэгтээ зөвхөн нэг мэдэгдэл байна: үнэн худал юм.

Мэдээж хэрэг, зохих тэмдэг, тэмдэглэгээ нь бичигдсэн байдаг логик алгебр хамгийн чухал үүргийг програмчлалын. Тэгээд тэднийг сурч - энэ нь шинэ гадаад хэл сурах нь гэсэн үг юм. Юу ч боломжгүй юм.

Үндсэн ойлголт, тодорхойлолт

гүн руу явж байхгүй байсан бол бид ухагдахуунуудыг шийдвэрлэх. Тиймээс Бүүлийн алгебр СӨХ урьдчилан таамаглаж:

• тайлан;
• логик үйл ажиллагаа;
• үйл ажиллагаа болон хууль.

Тайлан - ойлгогдож болно хоёр үнэлэгдсэн аль ч нааштай илэрхийлэл. Тэд тоо (5> 3), эсвэл боловсруулсан танил үгс (- хамгийн том хөхтөн заан) гэж бичсэн байдаг. Энэ тохиолдолд, өгүүлбэр ч бас байх эрхтэй, зөвхөн Бүүлийн алгебр дээр гэж тодорхойлж "Анааш-ийн хүзүү биш юм" "худал".

Бүх тайлан хоёрдмол утгагүй байх ёстой, гэхдээ тэдгээр нь үндсэн ба нийлмэл байж болох юм. Сүүлийн үеийн хэрэглээ логик сагс. бага логик үйл ажиллагааны гадна үүссэн алгебр тайлан шүүлтүүд нэгдэл онд E..

Бүүлийн алгебр үйл ажиллагаа

Бид аль хэдийн шийдвэрийн алгебрт гэсэн үйл ажиллагааг санаж - логик. Зүгээр л нэмэх, хасах, эсвэл тоо харьцуулах арифметик үйлдлүүдийг ашиглан тооны алгебр шиг, математик логик элементүүд нь үгүйсгэх, эсвэл эцсийн үр дүнг тооцох, цогц тайлан гаргах боломжийг олгодог.

томъёо арифметик бидэнд танил илэрхийлсэн албан ёсны болон хялбар логик үйл ажиллагаа. Бүүлийн алгебрийн тэгшитгэл шинж чанар боломжтой бүртгэж, үл мэдэгдэх тооцох хэрэгтэй. Логик үйлдлүүд нь ихэвчлэн үнэн ширээнд хамт бүртгэнэ. Уг элемент нь тэдний дээр хийгддэг багана болон тооцоолон бодох үйл ажиллагааг тодорхойлох, эгнээ тооцооны үр дүнг харуулж байна.

Үйл ажиллагааны үндсэн логик

Бүүлийн алгебр үйл ажиллагаанд хамгийн түгээмэл угуйсгэж (биш) байдаг ба логик AND болон OR. Тэгэхээр энэ нь бараг алгебр шийдвэрийн бүх алхмуудыг тайлбарлах боломжтой юм. Бид нарийвчлан гурван үйл ажиллагаа бүр судалсан.

угуйсгэж (биш) зөвхөн нэг элемент (Гишүүн) хэрэглэнэ. Тиймээс үйл ажиллагаа нь unary угуйсгэж гэж нэрлэдэг. "Биш А" гэх бэлгэ тэмдэг ашиглах үзэл баримтлалыг бичиж тулд: ¬A нь буюу !. хүснэгтэн хэлбэрээр энэ нь иймэрхүү харагдах болно:

Ийм мэдэгдэл ердийн хаасныг үйл ажиллагаа: А үнэн юм бол, дараа нь A - худал юм. Жишээ нь, сар дэлхийг тойрон эргэдэг - Үнэний; худал - Дэлхий сарыг тойрон эргэдэг.

Логик үржих, нэмэлт

Логик, үйл ажиллагааны нэг Холбоос гэж нэрлэдэг. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? .. Хоёрт хэлбэрийн файлыг нь үйл ажиллагаа - Нэгдүгээрт, энэ нь өөрөөр хэлбэл, би хоёр operands хэрэглэж болно гэж. Хоёрдугаарт, энэ нь зөвхөн аль аль нь operands (А, Б аль аль нь) нь үнэний хувьд бол үнэн илэрхийлэл өөрөө юм. зүйр үг "Тэвчээр, бага зэрэг хүчин чармайлт" зөвхөн хоёр хүчин зүйл нь хүн бэрхшээл даван туулахад тусалж чадна гэсэн үг юм.

A∧B, A⋅B эсвэл && Б: тэмдэгт бичлэг ашиглаж байна

Холбоос үг арифметик-д үржүүлэх төстэй юм. Заримдаа хэлэх - логик үржүүлэх. Та хүснэгтийн мөр элементүүдийг өнөр өтгөн бол, бид логик сэтгэлгээ адил үр дүнг авах болно.

Disjunction логик OR үйл ажиллагаа юм. тайлангийн наад зах нь нэг нь үнэн (А буюу В аль) бол энэ нь үнэн юм. A∨B, A + B эсвэл A || Б: Энэ нь шиг энэ бичигдсэн Эдгээр үйл ажиллагааны үнэн хүснэгт байна:

ижил төстэй арифметик нэмэх Disjunction. 1 + 1 = 1: логик нэмэлт үйл ажиллагаа нь зөвхөн нэг хязгаарлалтыг байна. Гэхдээ бид дижитал форматаар математик логик 0, 1 хязгаарлагддаг гэдгийг санаж (хаана 1 - үнэн 0 - худал). Жишээ нь, тайлан "музейд та бүтээлээ үзнэ үү, эсвэл сайн компанийг олж болно" Хэрэв та урлагийн бүтээлийг юу харж болно гэсэн үг бөгөөд энэ нь сонирхолтой хүнийг уулзах боломжтой юм. Үүний зэрэгцээ, хоёр үйл явдлын нэгэн зэрэг биелүүлж үгүйсгэхийн хэрэггүй.

Чиг үүрэг, хууль

Тиймээс бид аль хэдийн Бүүлийн алгебр ашиглан ямар логик үйл ажиллагаа мэднэ. Чиг үүрэг математик логик элементүүдийн бүх шинж чанарыг тайлбарлах, АНУ-ын нарийн нийлмэл тайлангаа хялбар боломжийг олгодог. Хамгийн тодорхой, энгийн үүсмэл үйл ажиллагааг татгалзсан эд хөрөнгийг байна. Гэхэд уламжлалууд XOR, нөлөөтэй ба тэнцүү ойлгож байна. бид зөвхөн үндсэн үйл ажиллагаа нь уншихдаа байж, дараа нь үл хөдлөх хөрөнгийн бас тэднийг зөвхөн үзэж байна.

Associativity зэрэг тайланд "А аль аль нь болон В, operands В" дараалал жагсаалт нь хамаагүй гэсэн үг юм. дараах байдлаар томъёо бичсэн байна:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Таны харж байгаагаар, энэ уялдуулан боловч disjunction онцлог биш юм.

Commutativity хамтран, эсвэл disjunction үр дүн зүйл эхэнд үздэг байсан нь хамааралтай биш юм гэж үзэж:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity цогц логик илэрхийлэлд хаалт тодруулах боломжийг олгодог. Дүрэм алгебрт үржүүлэх болон гадна нээлтийн Хаалтанд төстэй байна:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Нэгж шинж чанар, зурлага, operands нэг нь бас тэг, эсвэл нэг, мөн нэг нэгж нэмж алгебрийн үржүүлэх төстэй байж болно:

A∧0 = 0, A∧1 = A, A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency үйл ажиллагаа харьцангуй хоёр тэнцүү operands үр дүн мөн юм бол, та илүүдэл хүндрүүлэх шалтгаан operands "хаях" болно гэж бидэнд хэлдэг. Тэгээд Холбоос болон disjunction үйл ажиллагаа idempotent байна.

B∧B = В; B∨B = Б.

Олж авах, мөн АНУ-ын тэгшитгэлийг хялбар боломжийг олгодог. Шингээлтийн илэрхийлэл нэг Гишүүн хэрэглэж байгаа үед, үр дүн Гишүүн ижил элемент нь өөр нэг үйл ажиллагаа ажиллагааг шингээж байна гэж заасан.

A∧B∨B = В; (A∨B) ∧B = Б.

үйл ажиллагааны дараалал

үйл ажиллагааны дараалал чухал ач холбогдолтой юм. Үнэн хэрэгтээ, алгебр хувьд гэвэл, тэнд Бүүлийн алгебр ашигладаг тэргүүлэх ач холбогдол үйл ажиллагаа юм. Томьёо үйл ажиллагааны ач холбогдол нь зөвхөн хичээл хялбаршуулсан болно. маш бага тулд хамгийн чухал нь эрэмбэлэх, бид дараах дарааллыг авах:

1. Зогсоох.

2. Холбоос.

3. disjunction, XOR.

4. Дүгнэлт, эквивалент.

Та уялдуулан нь зөвхөн үгүйсгэхэд харж болно, тэгш ач холбогдол байхгүй байна байна. disjunction ба XOR нь нэн тэргүүний эрх тэгш, түүнчлэн нөлөөлснөөр ба тэнцүү нь тэргүүлэх чиглэл юм.

нөлөөлснөөр ба тэнцүү чиг үүрэг

Бидний дээр хэлсэнчлэн, үндсэн логик үйл ажиллагаа, математик логик ба уламжлал ашиглан алгоритм онол гадна. Энэ нь хамгийн их үр нөлөө болон эквивалент юм.

Дүгнэлт, эсвэл логик үр дагавар - энэ мэдэгдэл, ямар нэг арга хэмжээ авах нөхцөл бөгөөд бусад - түүний хэрэгжилтийн үр дүн. Өөрөөр хэлбэл, "дараа нь бол ..." гэсэн шалтаг нь энэ санал. "Хоолны дараа тооллыг ирдэг." жолоодох нь E. чарга толгод дээр чангатгасан байна. уулаас доош хөдөлж, дараа нь чарга чирж ямар ч хүсэл байхгүй бол шаардлагагүй юм. тэгээд бичсэн байна: A → B, эсвэл A⇒B.

Эквивалент цэвэр нөлөө аль аль нь operands үнэн үед л тохиолддог гэсэн үг юм. Жишээ нь, шөнө нар тэнгэрийн хаяанд дээш мандах үед, дараа өдөр нь арга (зөвхөн дараа нь) өгдөг. Энэ мэдэгдэлд математик логик хэлээр A≡B, A⇔B, А == Б гэж бичигдсэн байдаг

Бүүлийн алгебр бусад хуулиуд

Алгебрийн шүүлт хөгжүүлж, олон сонирхсон эрдэмтэд шинэ хууль боловсруулж байна. тооцогддог хамгийн алдартай Шотландын математикч О. Де Morgan батлах байсан гэдэг. Тэрээр анзаарсан, ойр дотно үгүйсгэхэд, гадна болон давхар сөрөг гэж ийм шинж тодорхойлолтыг өгсөн.

Хаах үгүйсгэх Хаалтанд өмнө ямар ч үгүйсгэж байна: биш (А буюу В) = биш, эсвэл Б. биш

Гишүүн татгалзсан тохиолдолд үнийн дүнгээс үл хамааран, гадна талаар хэлж байна:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Эцэст нь хэлэхэд, хоёр угуйсгэж өөрөө нөхөн. өөрөөр хэлбэл, бас Гишүүн угуйсгэж алга, эсвэл зөвхөн нэг л хэвээр өмнө.

туршилтыг шийдвэрлэх вэ

Логик хялбаршуулах урьдчилан тэгшитгэл гэсэн үг. Зүгээр л худал алгебрт энэ maximally эхний нөхцөлийг хөнгөвчлөх (төвөгтэй оролтын үйл ажиллагааны салахыг, мөн тэдний хамт) шаардлагатай юм шиг, дараа нь зөв хариулт хайж эхэлдэг.

хялбарчлахын тулд юу хийх вэ? Энэ нь энгийн үйл ажиллагаа явуулж байгаа бүх дериватив Convert. Дараа нь (энэ элементийг бууруулах хаалт хийх, эсвэл эсрэгээр) бүх хаалт илрүүлэхэд. Дараагийн алхам бол практикт Бүүлийн алгебр шинж чанарыг ашиглах нь байх ёстой (шингээх шинж чанар нь тэг, нэг, Т.).

Эцэст нь, тэгшитгэл үл мэдэгдэх нь хамгийн бага тооны энгийн үйл ажиллагаатай хослуулан бүрдэнэ байх ёстой. Та ойр сөрөг тооны гаргах бол хамгийн хялбар арга зам, шийдэл хайж байна. Дараа нь хариулт нь өөрөө юм шиг гарч ирэх болно.