Тодорхой бус салшгүй. тодорхой бус интегралыг гаргахад интегралын тооцохдоо

Математикийн дүн шинжилгээ хийх үндсэн хэсэг нь нэг салшгүй тооцооллоор юм. Энэ нь тодорхой бус салшгүй юм - энэ нь объектын эхний маш өргөн талбар хамардаг. Ахлах сургуульд хэвээр байгаа гол дээд математик тайлбарлах хэтийн төлөв, боломж нь тоо нэмэгдэж, харуулж байна гэж албан тушаал нь зогсож байна.

Гадаад өнгө байдал

Өнгөцхөн харвал энэ нь орчин үеийн, сэдэвчилсэн нь бүрмөсөн салшгүй бололтой, гэхдээ бодит байдал дээр энэ нь тэр буцаж 1800 онд ирсэн болж МЭӨ. бидэнд түүний оршихуйн өмнө нотлох баримт хүрээгүй юм шиг Нүүр хуудас албан ёсоор Египет үзэж байна. Энэ улмаас мэдээлэл дутмаг, бүх байхад үзэгдэл мэт зүгээр л байр суурь. Тэрээр дахин нэг удаа тэр цаг ард түмний шинжлэх ухааны хөгжлийн түвшинг баталж байна. Эцэст нь хэлэхэд, ажил олдсон эртний Грекийн математикч 4-р зууны МЭӨ-аас болзож. Тэд хэрэглэсэн арга нь тодорхойгүй салшгүй, мөн чанар нь curvilinear хэлбэр хэмжээ, эсвэл газар (гурван хэмжээст, хоёр хэмжээст онгоц тус тус) олж байсан тайлбарлаж байна. тооцоо өчүүхэн бүрэлдэхүүн руу анхны зураг нь хуваах зарчим дээр тулгуурласан, хэмжээ (газар) аль хэдийн тэдэнд мэдэгдэж байна гэж заасан. Цаг хугацаа өнгөрөх тусам арга нь өссөн байна, Архимед үүнийг нь гиперболын газар олж байсан. тэр үед ижил төстэй тооцоо эртний Хятад, тэд Грекийн хамт шинжлэх ухаан-аас бүрэн хараат бус байсан нь дасгал хийх.

хөгжил

XI зуунд МЭӨ дараагийн нээлт Арабын эрдэмтэн ажил болж байна "вагон" Абу Али аль-Basri, хил хязгаарыг түлхсэн аль хэдийн мэддэг, эхний дөрөв дэх руу дүн болон градус нийлбэр тооцоолох бидэнд мэдэгдэж энэ нь хэрэглэх салшгүй томъёогоор олсон байна индукцийн арга.
Өнөөдрийн оюун санааг эртний египетчүүд өөрсдийн гараар тэр бусад ямар нэг тусгай багаж хэрэгсэл байхгүй бол гайхалтай дурсгалыг бүтээсэн гэхэд бахархдаг байна, гэхдээ ямар ч бага хугацаанд гайхамшигт хүч галзуу эрдэмтэд биш юм байна уу? амьдралынхаа өнөөгийн дахин харьцуулахад бараг командаар юм шиг санагддаг, гэхдээ тодорхой бус интегралыг гаргахад интегралын шийдвэр хаа сайгүй хуримтласан, цаашдын хөгжлийн практикт хэрэглэдэг.

Дараагийн алхам бол Италийн математикч Cavalieri хуваагдашгүй аргыг авч авчирсан үед XVI зуунд болсон Нэг Ferma. Энэ хоёр хүн нь орчин үеийн салшгүй тооцооноос, одоогоор мэдэгдэж байгаа үндэс суурийг тавьжээ. Тэд өмнө нь бие даасан нэгж гэж үзэж байв ялган болон нэгтгэх үзэл баримтлал, холбоотой. Гэхэд, том, тэр үеийн математикийн үр дүн нь хязгаарлагдмал ашиглах нь өөрсдөө байх тархай бутархай хэсгүүд байсан юм. нэгтгэх, нийтлэг газар олох арга зам түүнд ачаар орчин үеийн, агшинд цорын ганц үнэн байсан математик шинжилгээ өсч, хөгжүүлэх боломж байсан.

цаг хугацаа өнгөрөх нь бүгдийг болон салшгүй тэмдэг, түүнчлэн өөрчилдөг. Гэхэд, том, энэ нь түүний өөрийнх нь замаар, жишээ нь, Ньютон дөрвөлжин дүрс нь integrable үйл ажиллагаа хийж, эсвэл зүгээр л хамтад нь хэрэглэж эрдэмтэд тогтоосон байна. Энэ ялгаа XVII зуунд, математикийн шинжлэх эрдэмтэн Gotfrid Leybnits бүхэлд нь онолын хувьд онцгой бидэнд танил ийм зан чанарыг танилцуулсан он хүртэл үргэлжилсэн юм. Сунасан "S" нь үнэндээ энэ захидал дээр тулгуурласан , Ромын цагаан толгойн командын нийлбэр илэрхийлнэ оноос хойш. салшгүй нэр нь 15 жилийн дараа Иаков Bernoulli ачаар олж авсан.

албан ёсны тодорхойлолт

тодорхой бус салшгүй командын тодорхойлолт хамаарна, тийм болохоор бид эхний байранд нь авч үзье.

Antiderivative - практикт энэ нь команд гэж нэрлэдэг деривативын урвуу функц юм. Үгүй бол: D-ын командын үүрэг - функц D, үүсмэл V <=> V '= V юм. командын Хайлтын тодорхой бус салшгүй тооцох бөгөөд үйл явц нь өөрөө нэгтгэх гэж нэрлэдэг.

жишээ нь:

функцийн S (Y) = Y ^3, түүний команд S (Y) = (у ^4/4).

үйл ажиллагаа нь бүх командуудын багц - энэ нь тодорхой бус салшгүй бөгөөд дараахь байдлаар тэмдэглэсэн: ∫v (х) DX.

Үнэндээ V (X) гэсэн ариун гэхэд - зөвхөн зарим нэг командыг эх функц байдаг илэрхийлэл эзэмшдэг: ∫v (х) DX = V (X) + C, C - тогтмол. түүний үүсмэл тэг байдаг тул дур мэдэн тогтмол дагуу, ямар ч тогтмол хэлнэ.

шинж чанар

тодорхой бус салшгүй эзэмшилд шинж чанар, үндсэндээ тодорхойлолт, деривативын шинж дээр үндэслэн.
гол оноо авч үзье:

• командын салшгүй дериватив нь өөрөө нэмэх нь дурын тогтмол C <=> ∫V команд юм "(х) DX = V (X) + C;
• нь функцийн интеграл нь үүсмэл эх функц нь <=> (∫v (X) DX) 'юм = V (X);
• тогтмол салшгүй тэмдэг <=> ∫kv (х) доороос гаргаж авсан байна DX = k∫v (х) DX, к - дур зоргоороо юм;
• , Салшгүй нь интегралыг гаргахад интегралын нийлбэр <=> ∫ (V (у) + W (Y)) Ма = ∫v (Y) Ма + ∫w (Y) Ма нь адилхан тэнцүү нийлбэрээс авсан байна.

Сүүлийн хоёр шинж чанар нь тодорхой бус салшгүй шугаман байна гэж дүгнэж болно. Үүний улмаас бид байна: ∫ (кВ-ын (у) Ма + ∫ LW (Y)) Ма = k∫v (Y) Ма + l∫w (Y) Ма.

шийдэл нь тодорхой бус интегралууд засах жишээг үзнэ үү.

Та салшгүй ∫ (3sinx + 4cosx) DX олох хэрэгтэй:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Жишээ нь эхлэн бид та тодорхой бус интегралууд шийдвэрлэх хэрхэн мэдэхгүй байна гэж дүгнэж болох вэ? Зүгээр л бүх команд олж! Гэхдээ зарчмын хувьд хайлтын доор хэлэлцсэн байна.

Арга, жишээ

салшгүй шийдвэрлэхийн тулд та дараах аргуудыг амралтын болно:

• Ширээн давуу талыг бэлэн;
• хэсгүүдээр нэгтгэх;
• хувьсагчийг солих нэгдсэн;
• дифференциал тэмдгийн дор дүгнэх.

хүснэгт

хамгийн энгийн, зугаатай арга. Одоогийн байдлаар, математик шинжилгээ нь маш өргөн цар хүрээтэй ширээ, тодорхой бус интегралыг гаргахад интегралын үндсэн томъёог тусгасан өөрөөрөө сайрхахгүй болно. Өөрөөр хэлбэл, та нар хүртэл уламжилсан загварууд байгаа бөгөөд та зөвхөн тэдний давуу талыг ашиглах боломжтой. Энд гол хүснэгт албан тушаалд бараг нэгтэй харуулах боломжтой болно жагсаалт юм шийдлийг байна:

• ∫0dy = C, хаана C - тогтмол;
• ∫dy = Y + C, хаана C - тогтмол;
• ∫y ^N Ма = (у ^{N + 1)} / (N + 1) + C, хаана C - тогтмол болон N - тоо эв нэгдэл ялгаатай;
• ∫ (1 / у) Ма = LN | Y | + C, хаана C - тогтмол;
• ^{∫e у Ма = и у + C} , хаана C - тогтмол;
• ^{∫k у Ма = (к у /} LN к) + C, C - тогтмол;
• ∫cosydy = siny + C, хаана C - тогтмол;
• ∫sinydy = -cosy + C, хаана C - тогтмол;
• ∫dy / COS ² у = tgy + C, хаана C - тогтмол;
• ∫dy / нүгэл ² у = -ctgy + C, хаана C - тогтмол;
• ∫dy / (1 + у ²⁾ = arctgy + C, хаана C - тогтмол;
• ∫chydy = ичимхий + C, C - тогтмол;
• ∫shydy = Чаи + C, C - тогтмол.

Хэрэв шаардлагатай бол хүснэгтийн харах алхмууд нь хос integrand удирдан хийж, ялалт эдэлнэ. ЖИШЭЭ: ∫cos (5x -2) DX = 1 / 5∫cos (5x - 2) С (5x - 2) = 1/5 х нүгэл (5x - 2) + В.

шийдвэрийн дагуу энэ нь жишээ нь хүснэгт integrand үржүүлэгчийг 5. Бид үүнийг зэрэгцээ энэ үржүүлж нь 1/5 гэхэд ерөнхий үзэл бодлоо чөлөөтэй илэрхийлэх нь өөрчилж болохгүй байсан нэмнэ дутагдалтай байгаа нь тодорхой юм.

Эд анги хамт Интеграцийн

Z (у) болон х (Y) - хоёр үүргийг авч үзье. Тэд өөрийн домэйн дээр тасралтгүй differentiable байх ёстой. Нэг ялгаа шинж бид байна: D (XZ) = xdz + zdx. аль аль талыг нэгтгэх, бид авах: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

- ∫xdz ∫zdx = ZX: үр дүнд тэгшитгэл дахин бичихээс бид томъёо, эд анги хамт нэгтгэх аргыг тайлбарлах болно авах болно.

Яагаад шаардлагатай вэ? Энэ нь хялбар болгохын тулд боломжтой жишээ нь зарим нь, хамгийн хэлье байгаа нь, ∫zdx ∫xdz багасгахын тулд сүүлийн хүснэгтийн хэлбэрээр ойр бол. Мөн энэ томъёо нь оновчтой үр дүнд нь, нэгээс олон удаа ашиглаж болно.

Хэрхэн тодорхой бус интегралууд энэ арга замыг шийдэх:

• ∫ (ууд + 1) и ^2s DS тооцох шаардлагатай

∫ (х + ^{1) и 2s DS = {Z =} с + 1, DZ = DS, Y = 1 ^{/ 2e 2s, Ма = и 2x} ы} = ((ууд + 1) д ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s DX = ((ууд + 1) д ^2s) / 2-д ^2s / 4 + C;

• ∫lnsds тооцох ёстой

∫lnsds = {Z = LNS, DZ = DS / с, у = с, Ма = ы} = slns - ∫s х DS / с = slns - ∫ds = slns -s + C = S (LNS-1) + C.

хувьсагч солих

тодорхой бус интегралууд шийдвэрлэх Энэ зарчим нь өмнөх хоёроосоо эрэлт хэрэгцээ нь биш бага төвөгтэй ч байдаг. арга нь дараах байдлаар байна: Let V (х) - зарим нэг функцийн V (X) -ийн салшгүй. өөрөө Жишээ slozhnosochinenny нь салшгүй ирдэг тохиолдолд, эргэлзэж, буруу зам шийдлийг доош явж болох юм. хувьсагч X энэ практик өөрчлөлт Я бөгөөд ерөнхий илэрхийлэл харааны х хамааран Z хадгалахын сацуу хялбаршуулсан зайлсхийхийн тулд.

Математикийн хувьд энэ нь дараах байдлаар байна: ∫v (х) DX = ∫v (Y (Z)) Y '(Z) DZ = V (Z) = V (Y -1 (х)), х = Y ( Z) - орлуулах. Тэгээд мэдээж, урвуу функц Z = Y ^-1 (х) бүрэн харилцааг ба хувьсагчийн хамаарлыг тайлбарлах болно. Анхаарах - ялгаатай DX заавал шинэ дифференциал DZ сольж, тодорхой бус интеграл нь хувьсагчийн өөрчлөлтийн оноос хойш зүгээр л integrand нь хаа сайгүй л солих явдал юм.

жишээ нь:

• DS - ∫ (ууд + 1) / (5 с ² + 2s) олох хэрэгтэй

орлуулах Z = (ууд + 1) түрхэнэ / (с ² + 2s-5). Дараа нь DZ = 2sds = 2 + 2 (ууд + 1) DS <=> (ууд + 1) DS = DZ / 2. Үүний үр дүнд дараах илэрхийлэл нь маш хялбар юм тооцох:

∫ (ууд + 1) / (с ² + 2s-5) DS = ∫ (DZ / 2) / Z = 1 / 2ln | Z | + C = 1 / 2ln |-ийн ² + 2s-5 | + C;

• Та салшгүй ∫2 ^с и ^с DX олох хэрэгтэй

дараах хэлбэрээр дахин бичиж шийдэхийн тулд:

^{∫2 с и с ы = ∫ (} 2e) -ийн DS.

Бид (энэ нь одоо ч гэсэн с байна маргаан Хэрэв энэ алхам нь биш юм солих) нь = 2e хамт илэрхийлэхэд, бид өгөх бидний үндсэн хүснэгтэн хэлбэрээр мэт төвөгтэй салшгүй:

^{∫ (2e) -ийн DS = ∫a} с ы = а с / LNA + C = (2e) S / LN (2e) + C = 2 ^S и ^с / LN (2 + lne) + C = 2 ^S и ^с / (ln2 + 1) + В.

нь ялгаатай шинж тэмдэг дүгнэх

Гэхэд, том, тодорхой бус интегралыг гаргахад интегралын энэ арга - хувьсагчийн өөрчлөлтийн зарчмын ихэр ах, харин тэнд бүртгэлийн үйл явцад зөрүү юм. АНУ-ын илүү дэлгэрэнгүй авч үзье.

Хэрэв ∫v (X) DX = V (X) + C ба у = Z (х), дараа нь ∫v (Y) Ма = V (у) + В.

Үүний зэрэгцээ бид ердийн салшгүй өөрчлөлтийг дунд мартаж болохгүй:

• DX = D (X + а) ба үүгээр - тус бүр тогтмол;
• DX = (1 / а) D (сүх + б), хаана нь - байнга дахин хэдий ч тэг байх;
• xdx = 1 / 2D (х ² + б);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = D (sinx).

Хэрэв бид тодорхой бус салшгүй тооцох ерөнхий хэргийг хэлэлцэх, жишээ нь "(х) DX = DW (х) W ерөнхий томъёог дор ангилж болно.

жишээ нь:

• олох хэрэгтэй ∫ (2s + 3) ² DS, DS = 1 / 2D (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2s + 3) ² г (2s + 3) = (1/2) х ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) X (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + В.

Онлайн тусламж

Зарим тохиолдолд, буруу болж болно, эсвэл залхуурал, эсвэл яаралтай хэрэгцээ, та онлайн сануулгыг харин тооцоологчтой тодорхойгүй интегралууд ашиглах ашиглаж болно, эсвэл. илэрхий төвөгтэй ба интегралыг гаргахад интегралын маргаантай шинж чанартай хэдий ч, шийдвэр нь тэдний тодорхой алгоритм, "Та нар ... дараа нь хийх юм бол ..." зарчим дээр суурилсан хамаарна.

Мэдээж хэрэг, ийм тооны машин нь ялангуяа будилсан жишээ нь үр дүн нь хүрэх тодорхой арга зам байгаа учраас, эзэн биш, шийдвэр нь зохиомлоор үйл явцад зарим элементүүдийг нэвтрүүлэх нь "албадан" хайж байна ямар тохиолдол байдаг гэж болно. Энэ тайлангийн маргаантай шинж чанартай хэдий ч, энэ нь математик зэрэг зарчмын хувьд хийсвэр шинжлэх ухаан, түүний гол зорилго нь хил чадавхижуулах шаардлага гэж үзсэн нь үнэн юм. Үнэн хэрэгтээ, нь гөлгөр урсгал-д онол руу хөдөлж, хувьсан өөрчлөгдөж, тийм болохоор тодорхой бус интегралууд шийдвэрлэх жишээ бидэнд өгсөн гэж байхгүй бол маш их хэцүү байдаг - энэ нь боломж өндөр байна. Гэвч буцаж зүйлийг техникийн талд. тооцоог шалгах Наад зах нь, та нь энэ нь бидэнд бичсэн үйлчилгээг ашиглаж болно. комплекс илэрхийлэлд автомат тооцох шаардлагатай байгаа юм бол тэдгээр нь илүү ноцтой програм хангамж амралтын байхгүй байна. юуны өмнө байгаль орчинд MATLAB-ийн дээр анхаарал хандуулах ёстой.

програм

анх харахад тодорхой бус интегралыг гаргахад интегралын шийдвэр, бодит байдлаас бүрэн салангид юм шиг тэр онгоц нь илэрхий ашиглах харах хэцүү байдаг юм. Үнэн хэрэгтээ, шууд тэднийг хаана ч та чадахгүй байгаа ашигладаг боловч практикт ашигласан уусмалын гарах явцад шаардлагатай завсрын элемент юм. Тиймээс буцаж ялгаа нь нэгтгэх, улмаар идэвхтэй тэгшитгэл шийдвэрлэх явцад оролцох.
Товчоор хэлбэл, одоо, ирээдүйг цогцлон бүрдүүлж бүгдийг - эргээд эдгээр тэгшитгэл механик асуудлууд, замнал тооцоо, дулаан дамжилтын шийдвэрээр шууд нөлөөлж байна. нь бидний дээр, анх харахад л ердийн, суурь гэж үзэж байсан тодорхой бус салшгүй, жишээ нь илүү их, илүү шинэ нээлт хийх.