Рассел парадокс: үндсэн мэдээлэл, жишээ нь, томъёолол

Рассел зөрчилдөөнтэй хоёр харилцан хамааралтай логик antinomy юм.

Рассел өгүүлбэр хачирхалтай хоёр хэлбэр

логик багц дахь зөрчил хамгийн олон удаа хэлэлцсэн хэлбэр. олонлогийн зарим гишүүд өөрсдөө болон бусад байх шиг байна - үгүй. бүх багц багц нь өөрөө олонлог юм, тиймээс энэ нь өөрөө хэлдэг юм шиг санагддаг. Null эсвэл хоосон Гэхдээ өөрөө гишүүн байх ёсгүй. Тийм учраас тэг бүх багц багц нь өөрөө руу орсон байна. парадокс үүсдэг үед өөрөө гишүүн эсэх багц асуудал. мөн энэ нь тийм биш юм л бол энэ нь боломжтой юм.

Өөр нэг хэлбэр нь парадокс шинж чанар талаар зөрчилдөж байна. Зарим шинж чанар, зарим нь биш юм, харин өөрсдийнхөө лавлана бололтой. үл хөдлөх хөрөнгийн муур биш юм л байж, харин эд хөрөнгө, өөрөө өмч юм өмч гэж. түүнд харьяалагдах биш, эд хөрөнгө бүхий эд хөрөнгийг авч үзье. Энэ нь өөрөө хамаатай байвал яах вэ? Дахин хэлэхэд, таамаглалын аль ч эсрэг байх ёстой. парадокс Бертранд Рассел (1872-1970), 1901 онд түүнийг нээсэн нэрэмжит юм.

түүх

Нээлтийн Рассел "Математикийн зарчмууд" дээр түүний ажлын явцад гарсан. Тэрээр бие даан логик нээсэн боловч бусад математикчид болон Эрнст Zermelo болон зэрэг багц онол, нь хөгжүүлэгчид гэсэн нотолгоо байгаа Дэвид Hilbert, түүний өмнө зөрчилтэй эхний хувилбар мэдэж байсан. Рассел Гэхдээ эхлээд түүний нийтэлсэн бүтээлийг нарийвчлан логик хэлэлцсэн хэн, эхний болон шийдлийг боловсруулах гэж оролдсон анхны бүрэн түүний ач холбогдлыг үнэлж байсан юм. "Зарчим" нь бүхэл бүтэн бүлэг энэ асуудлыг хэлэлцэх зориулсан бөгөөд програм төрлийн онол, Рассел уусмал зэрэг санал болгож зориулсан байна.

Рассел ямар ч багц хүч нь дэд олонлог бага байна гэж Cantor-ийн цогц онолыг авч, худалч нь "логик" олжээ. домэйнд байгаа наад зах нь элемент тус бүр нэг дэд хэсэг нь зөвхөн энэ элементийг агуулсан тохируулсан байвал үүн дахь элементүүд байдаг шиг олон дэд олонлог байх ёстой. Цаашилбал, Cantor элементийн тоо дэд тоотой тэнцүү байх боломжгүй гэдгийг баталсан. Мөн хэд хэдэн байсан бол, энэ нь тэдний дэд дээр элементүүдийг харуулах болно ƒ онцлогтой байх хэрэгтэй болно. Үүний зэрэгцээ энэ нь боломжгүй юм гэдгийг баталсан болно. Зарим зүйлс, тэдгээрийг агуулсан функцийн ƒ дэд дээр гарч зарим нь болох ч байж болох юм.

Тэдний зураг, тэдгээрийн ƒ харуулах үл хамаарах элементүүдийг хэсгийг авч үзье. Энэ нь өөрөө элементийн дэд олонлог байх болно, тиймээс, ƒ функц нь домэйн дахь элемент дээр харуулах болно. асуудал нь дараа нь асуулт энэ элемент нь ƒ харуулдаг аль нь дэд хамаарах эсэх талаар гарч байгаа юм. Энэ нь өмч биш бол энэ нь зөвхөн боломжтой юм. Рассел парадокс учир шалтгааныг нэг шугамын жишээ болгон харж болно, зөвхөн хялбаршуулсан. багц багц буюу дэд олонлог - илүү гэж юу вэ? Энэ нь тэнд багц өөрсдөө бүх дэд зэрэг, түүнээс дээш багц байх ёстой гэж санагдаж байна. Гэвч Cantor теорем үнэн бол, дараа нь тэнд илүү дэд олонлог байх ёстой. Рассел зүгээр л үзэж өөрсдийнхөө тухай багц харуулж, эдгээр бүх элемент, тэд нь гарч байгаа нь багц гадна цогц харгалзан kantoriansky аргыг хэрэглэнэ. Харагдаж байгаа Рассел бүх багц нь бус багц болж байна.

алдаа Frege

"Худалч нь парадокс" багц онолын түүхэн хөгжлийн талаар гүн гүнзгий нөлөө үзүүлсэн. Тэрээр нийтийн цогц ойлголт ихээхэн асуудалтай байгааг харуулж байна. Тэрээр мөн тодорхой нөхцөл байдал, үндсэн тус бүрийн хувьд энэ нөхцөлийг хангаж зөвхөн тэдгээр зүйлүүдийн нь олон ургальч байгааг хүлээхгүй болно ойлголтыг асуусан. хувилбар багц нь байгалийн өргөтгөл - - шинж чанартай холбоотой Сонголт парадокс Энэ нь эд хөрөнгө зорилго нь оршин тогтнох, эсвэл нөхцөл байдал, эсхүл үндсэн тогтоосон бүрт нь универсал нийцүүлэн тухай маргах боломжтой эсэх талаар ноцтой эргэлзээ өсгөсөн.

Удалгүй logicians ажилд зөрчил, асуудал олдсон, гүн ухаантнууд болон математикч төстэй таамаглал гаргасан байна. эрт XX зууны - 1902 онд Рассел өгүүлбэр хачирхалтай нь хувилбар, логик системд илэрхийлж болно гэж Gottlob Frege-ийн "арифметикийн суурийг" -ийн Volume I, оны сүүлээр XIX-ийн логик гол ажлуудын нэг нь боловсруулсан олдлоо. Frege философи олон нь "сунгуулах" буюу "утга хүрээ" үзэл баримтлал гэж ойлгосон. үзэл баримтлал хамааралтай хүмүүст хамгийн ойр байдаг. Тэд тухайн ямар ч нөхцөлд, эсвэл үндсэн төлөө байх төлөвтэй байна. Тиймээс багц, түүний тодорхойлох үзэл дор унах биш нэг ойлголт байдаг. Энэ үзэл баримтлалд тодорхойлсон анги ч бас байдаг бөгөөд энэ нь тийм биш л бол түүний үзэл баримтлалыг тодорхойлох асуудал юм.

Рассел захидал хамгийн сэтгэл хөдөлгөм нэг болоод байна зургадугаар 1902 онд энэ мөргөлдөөний тухай Frege бичсэн ба логик түүхэнд талаар ярилцав. Frege нэн даруй өгүүлбэр хачирхалтай гамшигт үр дагаврыг хүлээн зөвшөөрсөн. Тэр хэдий ч түүний гүн ухаан нь шинж талаарх маргаан хувилбар шатны ойлголтуудын хооронд ялгах шийдвэрлэж байсан гэж тэмдэглэсэн.

Frege-ын ойлголт ҮНЭН нь функцийн аргумент шилжих гэж ойлгосон. ойлголт эхний шатны хоёр дахь шатны ойлголтуудын объект нь эдгээр чиг үүрэг нь аргумент, гэх мэт авч нэмэлт өгөгдлүүдтэй адил авч. Тиймээс үзэл баримтлал нь хэзээ ч маргаан гэх мэт өөрийгөө авч болно, шинж хувьд зөрчилдөөнтэй томъёолж болохгүй. Гэсэн хэдий багц, өргөтгөх, эсвэл ойлголт Frege бусад бүх обьектуудаар тэр нэгэн адил логик төрлийн тухай ярьж байна гэж ойлгосон. Дараа нь бүр тогтоосон үүнийг тодорхойлох үзэл баримтлалын дор ордог эсэх нь асуулт байна.

Frege, Рассел анхны захидал "арифметикийн суурийг" хоёр дахь хэмжээ авсан үед аль хэдийн хэвлэгдэхийг дууслаа. Тэр маш хурдан Рассел нь хачирхалтай хариу өгсөн өргөдөл бэлтгэх болжээ. Жишээ нь Frege боломжит шийдлийг нь хэд хэдэн агуулсан. Гэхдээ тэр логик системд хийсвэрлэл цогц ойлголтыг сулруулах гэсэн дүгнэлтэнд хүрсэн.

эх, энэ нь зөвхөн энэ үзэл баримтлал дотор байгаа бол, түүнийг тодорхойлсон бол объект олонлогт хамаарах гэж дүгнэж болох юм. шинэчилсэн систем нь зөвхөн энэ нь олонхийг тодорхойлох ойлголт дотор байгаа боловч тухайн тогтоох биш, зөвхөн хэрэв объект багц хамаардаг гэж дүгнэж болох юм. Рассел парадокс үүсдэг.

шийдэл Гэхдээ Frege нь бүхэлдээ сэтгэл хангалуун биш юм. Мөн энэ шалтгаан нь байсан юм. Хэдэн жилийн дараа зөрчил нь илүү төвөгтэй хэлбэр нь шинэчилсэн системийн хувьд олдсон байна. Гэхдээ энэ юу ч өмнө, Frege түүний шийдвэр орхиж, түүний арга нь ердөө л практикт хэрэгжих байсан дүгнэлт ирсэн юм шиг санагддаг бөгөөд энэ нь логик багц ямар ч хийж болно.

Гэсэн хэдий ч зарим нь санал болгож байна, харьцангуй илүү амжилттай өөр шийдэл. Эдгээр доор хэлэлцэх болно.

төрлийн онол

гэж Frege эерэг, сөрөг үзэгдлүүд нь хангалттай хариу байсан дээр нь тэмдэглэсэн юм багц онолын шинж боловсруулсан хувилбар. Frege-ын хариу өгүүлбэр хачирхалтай нь энэ маягт хамгийн олон удаа хэлэлцсэн уусмалаар өмнө байна. Энэ шинж чанар нь өөр өөр төрлийн хамаарна, эд хөрөнгийн ямар төрлийн хэзээ ч аль нь энэ хэлнэ зүйлсийн адил гэдгийг дээр суурилсан байна.

Тиймээс биш, тэр ч байтугай асуулт урган гарч, эд хөрөнгө нь өөрөө хэрэглэж байгаа эсэх. Логик хэл, төрөл онолыг ашиглан ийм шатлалын элементүүдийг тусгаарладаг. Энэ нь аль хэдийн Frege анх удаа ашиглаж байгаа хэдий ч энэ нь бүрэн тайлбарлаж, "зарчим" хавсралтаас Расселтай тусгагдаагүй байна. төрлийн онол Frege шатны ялгааг илүү бүрэн байсан юм. Тэр шинж чанар нь логик нь зөвхөн янз бүрийн төрөл, гэхдээ бас тогтоосон байна хуваалцсан юм. Рассел дараах нь хачирхалтай байгаа зөрчил шийдвэрлэх онолыг бичнэ.

нь философийн хангалттай байхын тулд, эд хөрөнгийг төрлийн онолын сонголт тэд өөрсдийнхөө хэрэглэж чадахгүй байна яагаад тайлбарлаж чадах тийм шинж чанар онолын хөгжлийг шаарддаг. Өнгөцхөн харвал энэ нь өөрийн эд хөрөнгөө үндсэн ач холбогдолтой. өөрийгөө таних байх эд хөрөнгө, энэ нь шиг санагддаг энэ нь бас өөрийгөө таних юм. үл хөдлөх хөрөнгийн сайхан таатай байх шиг байна. Үүний нэгэн адил, мэдээж энэ нь хуурамч нь муур байгаа өмч нь муур байна гэж хэлэх байна.

Гэсэн хэдий ч, янз бүрийн сэтгэгчид өөр өөр төрлийн хэлтсийг зөвтгөгдсөн. Рассел ч түүний карьерийн янз бүрийн цаг үед янз бүрийн тайлбар өгсөн. түүний нэг хэсэг нь, Frege түвшинд янз бүрийн үзэл баримтлалын тусгаарлах үндэслэл ханаагүй үзэл баримтлал, түүний онол ирдэг. үйл ажиллагаа гэх мэт ойлголт, мөн чанар нь, дутуу байна. үнэ цэнийг бий болгохын тулд тэд аргументыг хэрэгтэй. Та ижил төрлийн үзэл баримтлалыг үндсэн зөвхөн нэг үзэл баримтлалд чадахгүй байгаа ч түүний аргумент шаардлагатай юм. Жишээ нь, энэ нь олон тооны дөрвөлжин үндэс язгуурыг нь авах боломжтой байдаг боловч та зүгээр л дөрвөлжин эх функц хавтгай дөрвөлжин эх функц ашиглах ба үр дүнг авч чадахгүй.

консерватизм нь шинж тухай

Өөр нэг боломж шийдэл нь өгсөн ямар ч нөхцөлд, эсвэл сайн байгуулагдсан үндсэн хүрээнд парадокс шинж угуйсгэж шинж оршин байна. Мэдээж хэрэг, хэн нэг нь бүхэлд нь аль аль нь бодитой, бие даасан элемент метафизик шинж eschews бол бид nominalism логик авбал бүрэн зайлсхийж болно.

Гэсэн хэдий ч, antinomy шийдэх ийм эрс тэс байх шаардлагагүй. Логик дээд эрэмбийн систем нь дагуу Frege, Рассель боловсруулж, тогтсон зарчмыг гэгддэг агуулсан, нээлттэй томъёо бүрийн үл хамааран жишээ нь эд хөрөнгө, үзэл баримтлал, зөвхөн томъёог таарахгүй зүйл нэг хэсэг болгон хэрхэн төвөгтэй байдаг байна. Тэд ямар нарийн төвөгтэй байсан ч хамаагүй нөхцөл байдал буюу predicates, бүх боломжит цогц шинж чанаруудыг ашигласан.

Гэсэн хэдий ч, энэ нь зөв энгийн шинж зорилго нь оршин тулд, жишээ нь, тухайлбал улаан өнгө, шийдэмгий, сайхан сэтгэл гэх мэт өгөх зэрэг илүү нарийн метафизик шинж авах боломжтой болсон байна. Д. Та ч гэсэн эдгээр шинж гэх нинжин сэтгэл гэж өөрсдөдөө хамаарахгүй зөвшөөрөх болно болно сайхан сэтгэлтэй байх хэрэгтэй.

Бас нарийн төвөгтэй шинж ижил байдал, жишээ нь, арван долоон-толгой байх зэрэг "Properties", доор усны бичсэн байх гэх мэт. Д. Энэ тохиолдолд, эд хөрөнгө хангахгүй байгаа ямар ч урьдчилан тодорхойлсон нөхцөл, тусад нь ойлгож, үгүйсгэж болно одоо байгаа элемент, өөрийн гэсэн шинж чанартай байдаг. Тиймээс нэг энгийн шинж оршин үгүйсгэж чадахгүй байх, үл хөдлөх хөрөнгийн-гэж-бус хэрэглэж-тулд-өөрөө, илүү консерватив метафизик шинж чанарыг ашиглан логик зайлсхий.

Рассел парадокс: шийдэл

Энэ нь түүний амьдралын эцэст Frege бүрэн багц логикийг орхигдсон болсныг тэмдэглэсэн юм Дээрх. Энэ нь мэдээж, нэг antinomy нь багц хэлбэрээр шийдэл: бүхэлд зэрэг элементийн оршин энгийн үгүйсгэх. Үүнээс гадна, үүний үндсийг доор үзүүлэв, бусад түгээмэл сонголт байдаг.

олон төрлийн онол

Дээр дурьдсанчлан, Рассел төрлийн өөр өөр төрлийн нь зөвхөн эд хөрөнгө, эсвэл үзэл баримтлалыг хуваалцах гэж илүү бүрэн онолын тоглож, бас тогтоосон. Рассел тусдаа нэгжийн олон ургальч дээр тавьсан хуваалцлаа, бие даасан объект, гэх мэт багц олон ургальч объектын багц гэж үзэж байж, мөн багц олон ургальч - .. өгдөг. хэзээ ч маш олон төрөл таалагдсан та өөрөө гишүүнээр байх боломжийг олгодог. Тиймээс тэнд учир нь энэ нь гишүүн эсэх, өөрөө зөрчсөн төрөл болох тухай асуултыг ямар нэгэн цогц, өөрийн гишүүн бус бүх багц ямар ч олонлог юм. Дахин хэлэхэд, энэ асуудал төрлийн руу хэлтсийн гүн ухааны үндэс суурийг тайлбарлах метафизик багц тайлбарлах явдал юм.

ангилал

1937 онд V. V. Kuayn төрлийн онолын төстэй аргаар, өөр шийдлийг санал болгож байна. Энэ тухай Үндсэн мэдээлэл байна.

элемент багц болон бусад. Made тул олонхийг олох таамаглал байнга буруу, эсвэл утгагүй юм тусгаарласан. Sets тэдний нөхцөл байдлыг тодорхойлох үед л үзүүлж болно зөрчсөн төрөл биш юм. Тиймээс Quine нь илэрхийлэл "X үгүй биш х гишүүн юм" гэж энэ нөхцөлийг хангасан бүх элементүүд х багц оршин гэсэн үг биш юм утга учиртай мэдэгдэл юм.

Энэ системд тогтоосон ба энэ ангилалаар тохиолдолд л, т. E. хувьсагч гэх энэ хувьсагч нь өмнөх нь олон ургальч шинж тохиолдол бүрт хувьсагч бага даалгавар нэгжийн оноосон байна гэсэн эерэг бүхэл тоо өгөгдсөн бол бол зарим нь нээлттэй томъёо А байдаг араас нь дагадаг байх. Энэ нь блок Рассел парадокс, томъёо асуудал багцыг тодорхойлоход ашигласан оноос хойш, тэнд мөн өмнө нь болон хувьсах гишүүний гарын үсэг зурах энэ unstratified хийсний дараа юм.

Гэхдээ энэ нь үр дүнд системийн Quine "математик логик Шинэ Сан" гэж нэрлэдэг нийцсэн эсэхийг хараахан байна.

Татгалзах

Fraenkel (ZF) - нь бүхэлдээ өөр өөр арга Zermelo нь онолын хувьд авч байна. Энд ч бас багц оршин дээр хязгаар тогтоосон. Харин оронд нь анх бүх ойлголт, шинж, эсвэл нөхцөл байдал энэ эд хөрөнгийг нь бүх зүйлийн цогц байгааг харуулж байж болно, эсвэл ийм нөхцөл байдлыг хангахын тулд ZF-онолын хувьд гэж бодож Рассел болон Frege, нь "дээрээс-доош" ойртох, бүх зүйл эхэлнэ "доороос дээш нь."

, хоосон олонлогийн бие даасан элемент багц үүсгэдэг. Тиймээс өмнө нь систем болон Рассел Frege Fit ялгаатай нь түгээмэл багц бүх элемент, тэр ч байтугай бүх багц агуулсан харъяалагдаж байна. ZF багц оршин дээр чанд хязгаарлалт тогтоодог. тэдгээр нь хувьд тодорхой дурьдсан байна, эсвэл дахин давтагдах үйл явц гэх мэт аргаар боловсруулж болох бөгөөд зөвхөн байж болно. Д.

Дараа нь, харин үзэл баримтлал нь олборлолт гэнэн цогц Энэ DF, тусгаарлах буюу "ангилах" хэрэглэсэн хуваах зарчмын хувьд нөхцөлийг үгийн утганд яг тохирч Зөвхөн бол тухайн элемент багц оруулж байна гэж заасан байна. Үүний оронд одоо байгаа багц тус бүрийн хувьд эс тооцвол ямар ч бүх элементүүдийн олонлог оршин гэж үзвэл тодорхой нөхцөлийг хангаж,-ын Aussonderung нөхцөлийг хангасан эх олонлогийн бүх элементийн дэд олонлог байгааг харуулж байна.

Дараа нь хийсвэрлэл зарчим ирдэг: Тодорхой А А-д бүх Х-д зориулсан, дараа нь байгаа бол, х дэд А, нөхцлийг хангаж Зөвхөн х хангаж нөхцөл C. Энэ арга нь парадокс Расселтай ТОГТООХ, хойш нь бид зүгээр л гэж чадахгүй бол харьяалагддаг гэж өөрсдийгөө гишүүн биш бүх багц багц юм.

багц нь маш их байх нь та сонгож болно, эсвэл багц, өөрсдөдөө байгаа, ийм биш юм хүмүүст болгон хувааж, гэхдээ ямар ч нийтээр тогтоосон байдаг тул бид бүх багц багц үүрэг биш юм. асуудал гэж үзсэн бол Рассел зөрчилдөж баталж чадахгүй байгаа өгдөг.

бусад шийдэл

Үүнээс гадна, ийм "Математикийн зарчмууд" системийн өргөтгөл "математик логик" Quine, түүнчлэн багц онолын илүү сүүлийн үеийн хөгжил нь сэрээ хэлбэрийн онол гэх мэт дараа дараагийн өргөтгөлүүд болон эдгээр шийдлүүд нэмэлт өөрчлөлт оруулах, тэнд байсан, Bernays, Gödel болон фон Нойманн хийсэн байна. уусдаггүй өгүүлбэр хачирхалтай Бертранд Рассел хариу олсон эсэх нь асуулт хэвээр мэтгэлцээний тухай асуудал юм.